Systèmes elliptiques dans des espaces de Lebesgue-Sobolev généralises

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Dans cette thèse, nous étudions des systèmes elliptiques non-linéaires faisant intervenir l’opérateur p(x)Laplacien dé…ni sur des ouverts bornés de Rn: La non homogénéité de l’opérateur rend l’étude délicate et fait appel à des espaces fonctionnels non classiques. Ces espaces sont des cas particuliers des espaces d’Orlicz dits espaces de Sobolev généralisés et notés W1;p(x), dont la topologie est induite par une norme de manipulation ardue, appelée norme du Luxemburg. Les techniques d’approche restent la théorie des points critiques. Dans cette thèse, nous étudions quelques systèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires du type elliptique faisant intervenir l’opérateur p (x) Laplacien défini dans les espaces de Lebesgue-Sobolev généralisés, appelés aussi espaces de Lebesgue-Sobolev à exposant variable. Nous rappelons dans le premier chapitre le cadre fonctionnel le plus approprié pour la résolution de ces systèmes. Le chapitre 2 est consacré à l’étude de l’existence de solutions pour une classe de systèmes de transmission elliptiques à terme non local. En e¤et nous montrons qu’il existe au moins une solution faible non triviale à l’aide du théorème de Passe-montagne. Dans le troisième chapitre, nous établissons un résultat sur l’existence de multiples solutions non triviales pour une classe particulière de systèmes. Ici l’approche s’appuie sur une variante du théorème de Passe-montagne.

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