Existence et instabilites secondaires pour des problemes non lineaires

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Il est bien connu, que les ecoulements filtrants convectifs obeissant a` la loi de darcy et a` l''equation de la chaleur, prennent la forme de rouleaux, dans des couches poreuses horizontales etendues (ou infinies), juste au-dessus du seuil de la convection. les instabilites cross-roll, d'eckhaus et zigzag d'eforment ces rouleaux, et cette d'eformation d'epend de leur amplitude et leur longueur d'onde : les rouleaux bifurques dont la longueur d'onde est plus grande que la valeur critique sont connus pour ˆetre instables. c'est egalement le cas pour les mod`eles bidimensionnels dont la longueur d'onde est trop petite. cependant la question de la stabilite des rouleaux avec des longueurs d'onde intermediaires est demeuree en suspens, jusqu'`a maintenant. ici la notion de l'integrale directe, associee a` une analyse profonde des rouleaux eux-mˆemes, et de l''equation de dispersion impliquant les vecteurs d'onde et les taux de croissance des perturbations, nous permet de montrer d'un point de vue mathéematiquement rigoureux, que les rouleaux qui réesistent aux instabilites mentionnees ci-dessus sont en effet spectralement stable. la preuve repose sur une estimation "par dessous" (minoration) de l''equation de dispersion qui d'etermine les instabilites consistant en des modulations de la longueur d'onde, aussi appelees "instabilites de bande laterale" (sideband instabilities). parmi tous les rouleaux bifurques nous sommes capables de d'eterminer lesquels sont lineairement stables.