Etude d'une Equation aux Dérivées Partielles complètement non linéaire avec résonance dans r n

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Nous étudions dans cette thèse différentes équations aux dérivées partielles non linéaires du type elliptique. Nous montrons l'existence des solutions non triviales de certains problèmes contenant un opérateur non homogène. Cette thèse est répartie en plusieurs chapitres qui ne peuvent pas être lus indépendamment les uns des autres. Dans les chapitres deux et trois, nous faisons un bref rappel des différents notions et outils dont nous faisons un usage fréquent dans les autres chapitres. Dans le quatrième chapitre, nous nous intéressons à étudier les valeurs propres de l'opérateur (p, q)-Laplacien avec poids dans RN . Nous allons démontrer qu'il existe? * > 0 telle que toute ? > ?* est une valeur propre du problème considéré. L'approche utilisée est basée essentiellement sur le théorème du Col. Nous donnons aussi dans ce chapitre un résultat concernent l'existence et l'unicité de la valeur propre principale. Dans le cinquième chapitre, nous traitons un problème de résonance avec une fonction source non linéaire. Nous montrons moyennant une variante du théorème de Leray-Lions que de tels problèmes admettent au moins une solution non triviale. Dans le sixième chapitre, nous établissons des résultats de régularité des solutions des problèmes traités dans les deux chapitres précédents.Dans le dernier chapitre, nous établissons l'existence d'une famille de valeurs propres d'un opérateur nonlinéaire du type divergence généralisant ainsi les résultats du chapitre quatre. Nous clôturons cette thèse avec une conclusion et des perspectives.