Analyse numérique d’une classe de problèmes de l’obstacle.

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Le but de ce travail est de déeterminer la solution numéerique d’un probl`eme d’obstacle elliptique stationnaire unilatéeral classique. La technique numéerique combine la péenalisation de Moreau-Yoshida et les approximations spectrales par éeléements finis. La méethode de péenalisation transforme le probl`eme de l’obstacle en une famille d’éequations aux déerivéees partielles semi-linéeaires. La discréetisation utilise une méethode des éeléements spectraux sans ecouvrement avec une base nodale de Gauss-Lobatto Legendre utilisant un maillage uniforme. La stratéegie est baséee sur l’approximation de la solution `a l’aide d’une méethode spectrale aux éeléements finis. Le syst`eme discret obtenu est réesolu par un algorithme itéeratif basée sur la réegion de confiance. De plus, en couplant la péenalisation et les param`etres de discréetisation, on prouve des estimations d’erreur a priori et a posteriori o`u la fiabilitée et l’efficacitée des estimateurs sont montréees pour la méethode des éeléements spectraux de Legendre. De tels estimateurs peuvent ˆetre utilisées pour construire des méethodes adaptatives pour les probl`emes de l’obstacle. De plus, des réesultats numéeriques sont fournis pour corroborer les estimations d’erreur